Немного о турбулентности

Эта статья будет интересна новичкам, которые хотят больше узнать о турбулентном течении и подводных камнях, встречающихся при его моделировании в программных комплексах. Мы рассмотрим:

Введение

Начнем с определения турбулентности П. Брэдшоу:

Турбулентность – это трехмерное нестационарное движение, в котором вследствие растяжения вихрей создается непрерывное распределение хаотических пульсаций параметров потока (скорости, давления и т.д.) в интервале длин волн от минимальных, определяемых вязкими силами, до максимальных, определяемых граничными условиями течения.

Иными словами: турбулентное течение – это поток, движение которого беспорядочно во времени и пространстве.

1Как изображал турбулентное течение Леонардо да Винчи

Ламинарное течение, в отличие от турбулентного, упорядочено. Среда в таком течении перемещается слоями, без перемешиваний и пульсаций. На рисунке ниже представлен ламинарно-турбулентный переход в потоке: во время перехода возникают процесы интенсивного перемешивания и вихреобразования.

2
Изменение характера течения с ламинарного на турбулентное 

Профили скорости ламинарного и турбулентного потока

Рассмотрим течение в трубе круглого сечения и бесконечной длины.

Жан Луи Пуазёйль определил, что ламинарное течение имеет параболический профиль скорости. При переходе к турбулентному режиму течения профиль скорости изменяется до некоторого другого вида. Изменения профиля скорости вызваны инерционными силами, действующими на частицы в потоке.  Другими словами, профиль скорости турбулентного потока в трубах или каналах характеризуется быстрым возрастанием скорости у стенок и меньшей кривизной в центральной части течения.

    Ламинарное течение в трубе                                           Турбулентное течение в трубе

 15

Профили скоростей для ламинарного и турбулентного течения

За исключением тонкого слоя около стенки для турбулентного течения профиль скорости описывается логарифмическим законом (то есть скорость линейно зависит от логарифма расстояния до стенки).

Число Рейнольдса

Обычно, когда говорят о турбулентном течении, сразу вспоминают число Рейнольдса (Re). По сути, это отношение сил инерции к силам вязкого трения.

f 1

Здесь ρ - плотность, V - скорость, l - характерный геометрический размер, μ - динамическая вязкость среды (табличное значение).

Для потока, характеризующегося малым числом Рейнольдса, течение, в основном, будет зависеть от вязкостных сил. При высоких числах Рейнольдса влияние инерционных сил преобладает, вследствие чего и возникают завихрения.

Для определения границы между ламинарным и турбулентным течением вводится понятие критического числа Рейнольдса (Reкр):

  • Характерное Re < Reкр – течение ламинарное
  • Характерное Re > Reкр – течение турбулентное

Критическое значение числа Рейнольдса для разных сред отличатся:

  • для воды: Reкр ~ 2200
  • для воздуха: Reкр ~ 105

Где в реальной жизни возникают турбулентные течения

Как было отмечено выше, турбулентный поток отличается от ламинарного не только профилем скорости, но и наличием интенсивного вихреобразования. Поэтому явление турбулентности существенно влияет на результаты расчёта и его обязательно нужно учитывать.

Области приложения для турбулентности бесконечны: авиастроение, автомобилестроение, судостроение  - моделирование движения воздуха около самолетов/автомобилей/судов, вентиляция и кондиционирование – моделирование потоков воздуха в комнатах, помещениях, вентиляционных шахтах, салонах самолетов и автомобилей; отдельную обширную область представляет биомеханика – моделирование тока крови в камерах сердца, моделирование течения крови вокруг клапанов сердца и т.д. 

Моделирование турбулентности

Существует три основных подхода для математического описания турбулентного течения:

  • Direct Numerical Simulation (DNS) – прямое численное моделирование;
    В рамках этого подхода расчёт турбулентных течений происходит путем прямого решения уравнений Навье-Стокса. Для моделирования используются трехмерные нестационарные уравнения, независимо от характера течения. Данный подход требует достаточно точного разрешения расчетной сеткой всех областей, в которых происходит вихреобразование, поэтому его применение ограничивается производительностью вычислительной техники. Шаг сетки в этом случае должен быть порядка Колмогоровского масштаба.
  • Large Eddy Simulation (LES) – моделирование крупных вихрей;
    Этот подход занимает промежуточное положение между DNS и RANS подходами. В нем применяется фильтрация характеристик турбулентного течения от коротковолновых неоднородностей – то есть решаются осредненные уравнения Навье-Стокса (как и в RANS), но осреднение происходит по областям с размерами порядка размера фильтра. После проведения процедуры фильтрации, формируется система осредненных уравнений Навье-Стокса, применимая к областям с размерами больше фильтра. Осредненные уравнения замыкаются при помощи «подсеточной» модели турбулентности. При расчёте турбулентного течения с помощью LES подходов вихревые структуры с размерами, превышающими размеры фильтра (расчетной сетки), разрешаются точно, а меньшие вихревые структуры моделируются.
  • Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS) – подходы, основанные на осреднении уравнений Навье-Стокса по числу Рейнольдса. Чтобы учесть потерю энергии на вихри, которые не разрешены расчетной сеткой, вводят понятие осредненной скорости (подробнее это описано ниже). При осреднении уравнений возникает новая неизвестная – Рейнольдсово напряжение, из-за которой нельзя решить уравнение Навье-Стокса совместно с уравнением неразрывности. Поэтому для замыкания системы уравнений (для определения  Рейнольдсового напряжения) дополнительно вводятся  модели турбулентности.

Модель турбулентности - математическая модель, позволяющая описывать с той или иной точностью поведение потока. Применительно к RANS-подходам модель турбулентности - это совокупность дополнительных уравнений, призванных замкнуть систему уравнений Навье-Стокса после того, как её осреднили по Рейнольдсу.

Модели турбулентности отличаются константами, которые заложены в эти модели, а также определением турбулентной вязкости. Константы преимущественно эмпирические и их подбирают под особенности конкретной решаемой задачи. Модели турбулентности могут включать от одного до нескольких замыкающих уравнений и чем больше уравнений, тем больше требуется вычислительных ресурсов.

RANS подход позволяет получить только осредненный поток и описать его, если имеются пульсации скорости вокруг некоторого среднего значения. Такой подход позволяет получать хорошие результаты на грубой сетке. С помощью LES подхода можно разрешить вихри, влияющие на характер течения. Результаты такого расчета будут более точными, однако потребутся большее число расчетных ячеек и меньший шаг по времени. Для разрешения всех вихрей и пульсаций необходимо решать задачу напрямую (DNS): создать мелкую сетку, размер ячеек которой будет составлять несколько ячеек на каждый вихрь. Шаг по времени, соответственно, должен быть таким, чтобы период вращения вихря был также разрешен по времени на несколько шагов. Этот подход чрезвычайно ресурсоемок и редко применяется в инженерных расчетах.

9
Разница подходов на примере графика скорости потока

Основные понятия

 Диссипация энергии

Перенос энергии в турбулентном потоке происходит каскадным образом: энергия поступает от осредненного потока к наиболее крупным вихрям и далее последовательно передается всё более и более мелким вихревым структурам. В итоге она доходит до сверхмаленьких вихрей (имеющих Колмогоровские масштабы). Они диссипируют кинетическую энергию и передают её в тепловое состояние.

7

Каскадный перенос энергии в потоке

Пульсации

Переход от ламинарного к турбулентному течению характеризуется вихреобразованием. Результатом хаотического движения частиц, участвующих в турбулентном перемешивании, являются пульсации их скорости. Поэтому при использовании RANS-подхода к моделированию турбулентности проекции скорости можно разделить на среднюю составляющую и пульсационную добавку:

formula 2

Пульсационное движение частиц, в свою очередь, является источником пульсации давления, температуры, плотности. Мерой интенсивности пульсации служит степень турбулентности потока.

Перенос импульса, идущий через вихри, учитывается за счет добавочной турбулентной вязкости. Если подставить выражения для осредненных скоростей в уравнение Навье-Стокса и преобразовать, то в итоге некоторые члены обнулятся, но останется произведение средних и произведение пульсационных составляющих. Произведение пульсационных составляющих – новая неизвестная – носит название Рейнольдсово напряжение, из-за которой нельзя решить уравнение Навье-Стокса вместе с уравнением неразрывности. Поэтому систему уравнений нужно замыкать.

Для этого была введена гипотеза Бусинеска: рассматривать Рейнольдсово напряжение примерно так же, как и напряжения на трение, которые связаны с вязкостью, т.е. как некую вязкость, умноженную на деформацию потока. Поэтому появляется новая переменная - турбулентная вязкость, которая дает возможность учитывать дополнительный интегральный эффект от вихрей, хотя они и не разрешаются сеткой.

кинетическая энергия турбулентности

Понятие кинетической энергии турбулентности (k) введено Прандтлем и является, по сути, удельной кинетической энергией вихрей в турбулентном потоке или среднеквадратичной пульсацией скорости.

formula 5 

Прандтль заметил, что если рассмотреть пульсацию по оси у в потоке, который идет турбулентными слоями с вихрями, то она такая же, как и по оси х. Вихрь может изменять свой градиент по скоростям и пропорционален масштабу турбулентности. В качестве масштаба турбулентности было предложено рассматривать длину пути перемешивания вихря.

взаимодействие потока со стенкой - Что такое Y+

Если рассмотреть картину снимков течения рядом со стенкой, то оно похоже на ламинарное - все движется слоями, далее появляются вихри, их количество увеличивается и в ядре потока наблюдается уже турбулентное течение.

Рассматривая координату удаления от стенки в координатах (x,y), можно видеть различные области пограничного слоя. В нем выделяют:

  • вязкий подслой, где наблюдается абсолютно ламинарное течение.
  • буферный слой - зона перемешивания, где начинает оказывать влияние число Рейнольдса и появляется турбулентный поток.
  • турбулентное ядро (инерционный слой и верхний слой ПС) - развитие турбулентного слоя, где силы вязкости и влияние стенки уже незначительны.

12

Схема расположение слоёв в пограничном слое

Рассматривая профиль скорости в безразмерных координатах, можно определить ряд величин, описывающих течение в пограничном слое:

  • безразмерная скорость, равная отношению локальной скорости к динамической, определяемой только касательным напряжением на стенке.

безразмерная скорость: formula 11динамическая скорость:formula 12

  •  безразмерная координата Y+ - расстояние до стенки приведенное к безразмерному значению за счёт скорости динамического трения. Параметр Y+ можно рассматривать как локальное число Рейнольдса в ячейке.

безразмерное расстояние до стенки:formula 10

Если центр первой ячейки находится в зоне, где  Y+< 5, то речь идет про вязкий подслой, то течение ламинарное - профиль представляет собой параболу и в логарифмических координатах также парабола. Если 5 < Y+ < 15, то это зона перемешивания - в этом месте нужно сшить два профиля: один ламинарный, второй - турбулентный. Если Y+ > 30, то это зона турбулентности – в логарифмическом законе прямая линия. В зависимости от того, в какой области находится , должны быть приняты соответствующие подходы к моделированию этой пристеночной области. 

Два подхода к моделированию

Высокорейнольсовый подход

Характеризуется тем, что пристеночная область плохо разрешена сеткой и центр первой ячейки не попадает ни в вязкий, ни в буферный подслой (Y+ > 5).  В этом случае построена относительно грубая сетка и не известно, что происходит в области пограничного слоя. Тогда для расчета пристеночного течения применяются пристеночные функции.

13Разрешение потока крупной расчетной сеткой. Точкой показан центр первой ячейки

Пристеночные  функции - это некоторые эмпирические  и полу-эмпирические зависимости, призванные определить профиль скорости в пристеночном слое.

Во FlowVision реализованы 2 модели пристеночных функций: WFFV (Wall Function FlowVision) и WFS (Wall Function Standard). Подробнее о пристеночных функциях здесь.

Низкорейнольдсовый подход

Реализуется в том случае, если центр первой ячейки лежит внутри пограничного слоя. В этом случае пристеночная область разрешена сеткой (Y+ < 1), центр первой ячейки заведомо находится в ламинарной зоне. В таком случае следует отказаться от применения пристеночных функций, потому что в центре каждой ячейки профиль скорости строится за счёт численного решения.

14
Разрешение потока мелкой расчетной сеткой у стенки 

Моделирование турбулентности во FlowVision

Модели турбулентности FlowVision

Во FlowVision реализованы 7 разных моделей турбулентности. Для своих задач Вы можете использовать одну из них:

  • KES (k-ε) – стандартная модель турбулентности. Её применение возможно только в высоко-рейнольдсовых расчётах (на относительно грубой сетке с пристеночными функциями).
  • KEAKN (Abe, Kondoh, Nagano) – низкорейнольдсовая модель, которую рекомендуется использовать в низко-рейнольдсовых расчётах (на сетке, разрешающей вязкий подслой около стенки, без пристеночных функций).
  • KEFV – модернизированная разработчиками FlowVision k-ε модель. KEFV модель можно использовать как в низко-рейнольдсовых, так и в высоко-рейнольдсовых расчетах. В первом случае ламинарный подслой разрешается сеткой (пристеночные функции не используются), во втором случае ламинарный подслой не разрешается (используются пристеночные функции). Данная модель удовлетворительно предсказывает положение ламинарно-турбулентного перехода на твердой поверхности. В низко-рейнольдсовых расчетах необходимо задавать турбулентность набегающего потока.
  • KEQ (квадратичная модель) - наиболее полная, но и наиболее «капризная» из всех моделей. В ней рассматривается особый элемент - элемент тензора завихренности. Данная модель применяется для особо закрученных завихренных потоков, за обратным уступом и может использоваться только в высоко-рейнольдсовых расчетах.  
  • SST (модель Ментера) - известна тем, что сочетает в себе и k-ε модель и k-ω модель, которая разработана для подходов разрешения пристенной области. В этой модели появляется новое значение - ω - удельная диссипация вихрей. В пристеночной области для этой модели решаются уравнения k-ω модели, а в области, удаленной от стенки – уравнения k-ε модели.
  • SA (модель Спаларта-Аллмареса) - однопараметрическая модель, которая была разработана для аэрокосмических приложений. Дает хорошие результаты для пограничных слоев, характеризующихся положительными градиентами давлений. Может быть применена как в как в низко-рейнольдсовых, так и в высоко-рейнольдсовых расчетах. Традиционно эта модель эффективно работает в низкорейнольдсовом случае. 
  • Sm (модель Смагоринского) - алгебраическая модель, не требующая решения конвективно-диффузионных уравнений. Sm модель можно использовать только в низко-рейнольдсовых расчетах на хорошей мелкой сетке.

Задание входной турбулентности во FlowVision

 Для учёта турбулентности во FlowVision, необходимо во вкладке Фазы задать физический процесс Турбулентность, выбрав одну из предложенных моделей турбулентности.

i1

Выбор модели турбулентности в физических процессах

В качестве начальных условий (Препроцессор > Модели > Нач. данные) по турбулентности задаются пульсации и масштаб турбулентности. Эти параметры определяют степень турболизации потока. 

Пульсации:                                                       Масштаб турбулентности:

formula 13                                                 formula 14

Формулы для вычисления входных параметров пульсаций и масштаба турбулентности

Подробнее о задании входной турбулентности читайте в этой статье блога.

На граничных условиях при турбулентном течении задаются определяющие параметры: ТурбЭнергия и ТурбДиссипация. ТурбЭнергию можно задать как пульсации:ТурбЭнергия = Пульсации. А ТурбДиссипацию, как масштаб турбулентности: ТурбДиссипация = Масштаб турбулентности. 

Рекомендации для применения пристеночных функций во FV

Рекомендации по использованию пристеночных функций во FV определяется величиной Y+. Исходя из нее можно сформулировать рекомендации по применению моделей турбулентности и пристеночных функций. Однако, необходимо учитывать, что границы применимости моделей для разных задач могут изменяться.

tab1

По умолчанию в интерфейсе FV задаются равновесные пристеночные функции WFFV.

Об авторе
Елена Овсянникова
Author: Елена Овсянникова
Инженер технической поддержки
МГТУ им. Н.Э. Баумана. Экспертиза в областях: FSI, CFD, прочность