Модель Дарси для гидродинамики медленных течений

Содержание материала

В 1856 году французский гидравлик Анри Дарси экспериментально получил уравнение баланса импульса для медленного стационарного течения несжимаемой жидкости в пористой среде:
                                                                                                                                 Darcy 1
Сегодня это уравнение так и называется - «закон Дарси» - и активно применяется в гидравлике малых скоростей при моделировании течений в трубопроводах и пористых средах.

Область применения модели движения Дарси

Модель Дарси определяет линейную зависимость между градиентом давления и скоростью фильтрации. Но такое допущение возможно только для медленных течений с числом Рейнольдса Re < 2000. Однако не только скорость определяет область применения модели.

При моделировании неньютоновских жидкостей (например, нефти) связь между градиентом давления и скоростью фильтрации вероятнее всего будет описана нелинейным или дифференциальным законом. В этом случае применимость модели Дарси ставится под вопрос.

Успешный опыт применения модели Дарси продемонстрирован не только на трубопроводных задачах, но и при моделировании течения в теплообменниках, пропитки пористых композитных материалов, а также в задачах термо- гравитационной конвекции, оценки водопроницаемости грунтов и др.

Математическая основа закона Дарси

Рассмотрим более детально уравнение Дарси: Darcy 2 img
p [Па], ρ [кг/м3], V [м/с] – давление, плотности и скорость жидкости;
μ [Па⋅c] – динамическая вязкость жидкости;
g [м/с2] – ускорение свободного падения;
k [м2] , φ [ - ] – коэффициент проницаемости и пористость среды.

Можно заметить, что по своей структуре уравнение Дарси очень похоже на другое популярное и более каноническое уравнение движения – уравнение в форме Навье - Стокса:Darcy 3 imgИ это не случайность. На самом деле закон Дарси – это частный случай уравнения в форме Навье-Стокса (Н-С) для несжимаемого медленного течения.

Преобразуем уравнение в форме Навье-Стокса к уравнению Дарси
  • Запишем условие несжимаемости среды, полученное из уравнения неразрывности:    
  • Darcy 4 imgПри медленных течениях, влияние инерционных сил много меньше влияния вязкостных. Следовательно, ускорением (∇V) можно пренебречь, и при осреднении конвективный и нестационарный члены обратятся в ноль.
    Darcy 6 img

В итоге уравнение Н-С для несжимаемой жидкости принимает вид:Darcy 5 img

Уравнение Дарси — это частный случай уравнения движения в форме Навье-Стокса, полученное для медленных течений вязкой несжимаемой среды

От теории - к практике

Как говорилось ранее, модель Дарси хорошо зарекомендовала себя при моделировании течения в трубопроводах. Вычислим по формуле Дарси перепад давления в трубе (L = 2 м, d = 0.1 м) при течении воды со скоростью V = 0.001м/с.

Для такой постановки задачи (g = 0 м/с2φ = 1) формула Дарси принимает вид: Darcy 7 imgИли, если ввести коэффициент сопротивления D [кг/с·м3]: 

Darcy 8 img

Вычисление коэффициента сопротивления (D)

Выведем формулу для расчёта коэффициента сопротивления D. Эта величина потребуется не только для аналитической оценки, а также и далее при создании расчётного проекта FlowVision.

Выразим коэффициент сопротивления через сопоставление уравнения Дарси с эмпирической формулой Вейсбаха для течения в круглой трубе.

Darcy 24 imgDarcy 9 img

Выражение для коэффициента сопротивления принимает вид: 

Darcy 25 img

Здесь Darcy 10 img – коэффициент гидравлических потерь (λ – коэффициент потерь на трение, L и d – длина и диаметр трубы).

Коэффициент потерь на трение вычислим по формуле Пуазейля:Darcy 11 imgТогда окончательная формула для коэффициента сопротивления принимает вид:Darcy 12 imgВернёмся к исходным данным задачи (μ = 0.001 Па⋅c, d = 0.1 м) и вычислим D = 3.2 кг/с·м.

Вычисление перепада давления (Δp)

Воспользуемся выведенным ранее уравнением движения в форме Дарси:Darcy 13 imgПодставим известные числовые значения: D = 3.2 кг/с·м3, L = 2 м, V = 0.001м/с. Отсюда потери давления между входом и выходом трубы Δp = 0.0064 [Па].

Моделирование во FlowVision

В качестве основы воспользуемся проектом обучающего примера Lam_tube. Клиентская часть проекта находится в папке с обучающими примерами в инсталляционной директории /Tutorial\Samples\RussProjects\Lam_tube.  

Проведём расчёты проекта Lam_tube с использованием двух моделей движения: Навье-Стокса и Дарси.

Модель Навье-Стокса

Запустим проект на расчёт без изменений. Через 1000 секунд расчётного времени будет достигнуто стационарное значение величины давления на входе – зафиксируем его: Δp = 0.0071 [Па].

Модель Дарси

Преобразуем проект для моделирования с помощью модели Дарси. 

Шаг 1. В физических процессах фазы выбираем Движение = Модель Дарси.

Darcy 14 img

Шаг 2. Во всём расчётном пространстве задаём гидравлическое сопротивление (коэффициент D) с помощью модификатора Сопротивление.

Darcy 15 img

Обязательное условие использования модели Дарси - задание дополнительного гидравлического сопротивления среды с помощью модификатора «Сопротивление» (или «Анизотропное сопротивление» — для случая пористой среды).

Если коэффициент сопротивления не задан, то для расчёта автоматически принимается, что D=1e-6. Безусловно, это обеспечивает некорректный результат перепада давления. 

В случае использования модификатора Анизотропное сопротивление, гидравлическое сопротивление определяется симметричной матрицей проекций сопротивления по направлениям на координатные оси:Darcy 16 img

Darcy 17 img

Шаг 3. Запускаем расчёт и контролируем перепад давления на графике окна мониторинга: Δp = 0.00636 [Па]. Установившееся решение достигается за 20 с расчётного времени.

Модель Дарси FlowVision согласуется с аналитикой с точностью 1%. При сравнении модели Дарси и модели Навье-Стокса разница в величине перепада давления = 10%*.

*Для уточнения расчёта по модели Дарси используйте трубу большей длины (примерно в 3 раза). В обучающем примере малая длина трубы не позволяет достигнуть установившегося ламинарного профиля скорости на выходе. Однако при увеличении длины модель Дарси максимально близко согласуется с моделью Навье-Стокса.

Основное преимущество модели Дарси заключается в быстром достижении установившегося решения: стационарное решение модель Дарси в 50 раз быстрее, чем модель Навье-Стокса.

модель Дарси для разных геометрических моделей труб

Аналитический расчёт по формуле Дарси имеет место быть только для прямолинейного участка трубы. Определение перепада давления для труб сложной формы возможно только с помощью проведения численного моделирования. 

Гофрированная труба с течением воды

Сильфоны обычно применяются для компенсации температурного расширения трубопроводов, а также для предотвращения разрушения труб при их деформации.

Исходные данные задачи: L = 3 м., d = 0.1 м., V = 1 м/с.
Вычисляем коэффициент сопротивления для закона Дарси: D = 32μ / d2 = 3.2 кг/с·м3 , указываем это значение в модификаторе Сопротивление, запускаем расчёт и наблюдаем результаты. 

Darcy 18 imgРаспределение давления в гофрированной трубе

Течение воды в изогнутой трубе

Изгибы труб - это обычное дело при прокладывании трубопровода в черте города. Посмотрим какой перепад давления образуется в изолированном изогнутом участке. 

Исходные данные задачи: L = 7 м., d = 0.2 м., V = 3 м/с.
Вычисляем коэффициент сопротивления для закона Дарси: D = 32μ / d2 = 0.8 кг/с·м3

Darcy 19 imgРаспределение давления в изогнутой трубе

Течение воды в изогнутой в трубе с изгибами в двух плоскостях

Данный пример демонстрирует более сложную пространственную конфигурацию трубопровода. Здесь уже необходимо учитывать влияние сил гравитации.

Исходные данные задачи: L = 6 м., d = 0.05 м., V = 2 м/с.
Вычисляем коэффициент сопротивления для закона Дарси: D = 32μ / d2 = 12.8 кг/с·м3

Darcy 21 img

Распределение давления (с учётом гидростатики) в изогнутой трубе

Течение воды в изогнутой в трубе с фильтром

Пористая среда фильтра создаёт дополнительное гидравлическое сопротивление, которое учитывается при задании модификатора Сопротивление или Анизотропное сопротивление.

Исходные данные задачи: L = 6 м., d = 0.05 м., V = 2 м/с.
Вычисляем коэффициент сопротивления для закона Дарси: D1 = 32μ / d2 = 12.8 кг/с·м3
Коэффициент сопротивления фильтра примем D2 = 300 кг/с·м3

Darcy 22 img

Распределение давления  в изогнутой трубе с фильтром